Mathebuch

11 Funktionen

Woran erkennst du eine lineare Funktion? Um zu erkennen, ob eine Funktion nicht linear ist, genügt oft ein kurzer Blick auf ihre grafische Darstellung: Alle Funktionswerte einer linearen Funktion liegen auf einer Geraden. Lineare Funktionen haben ein einfaches Bildungsgesetz.

Nicht lineare Funktionen können oft auch durch einfache Bildungsgesetze beschrieben werden. Ihre Funktionsgraphen bilden häufig "schöne" und einprägsame Kurven. Wichtige Vertreter solcher nicht linearer Funktionen und ihre praktische Anwendungen lernst du in diesem Kapitel kennen.

E-Learning

Die Zahlenmaschine

Das wäre doch etwas: Du gibst eine (beliebige) Zahl ein, und die "Zahlenmaschine" liefert dir umgehend ein Ergebnis ... Was hat das mit den Funktionen zu tun?

Einsteiger: Die Zahlenmaschine (GeoGebra-Datei)
Zahlenmaschine 2 - mit einigen Erläuterungen... (GeoGebra-Datei)

Berechne die Funktionswerte!

Einsteiger: f(x) = x + 3 (Zuordnungsübung)
Einsteiger: f(x) = 5 - 2x (Zuordnungsübung)
f(x) = 3x - 2 (Zuordnungsübung)
f(x) = x² (Zuordnungsübung)
f(x) = x² - 1 (Zuordnungsübung)
f(x) = 1/x (Zuordnungsübung)
f(x) = √ x (Zuordnungsübung)

Funktionen darstellen

Funktionen f werden im Koordinatensystem mit Hilfe von Wertepaaren (x, f(x)) dargestellt. Führe solche Aufgaben beispielsweise mit GeoGebra durch:

Einsteiger: Eine lineare Funktion? (GeoGebra-Datei)
Einsteiger: Welche Funktion? (GeoGebra-Datei)
Die Funktion f(x) = a/x (GeoGebra-Datei)
Die Funktion f(x) = a / (x + b) (GeoGebra-Datei)
Die Funktion f(x) = a.x² (GeoGebra-Datei)
Die Funktion f(x) = a / x² (GeoGebra-Datei)
Die Funktion f(x) = a.x² + b (GeoGebra-Datei)
Die Funktion f(x) = a/x + b (GeoGebra-Datei)
Die Funktion f(x) = a.x² + b/x (GeoGebra-Datei, finde den kleinsten Funktionswert!)
Die Wurzel-Funktion (GeoGebra-Datei)

Eigenschaften von Funktionen

In den folgenden Aufgaben betrachtest du verschiedene Funktionen y = f(x). Ordne die Zahlen so, dass das Argument x mit dem kleinsten Funktionswert f(x) ganz links steht!

Einsteiger: Die lineare Funktion (5 Ordnungsübungen)
Die Quadratfunktion (5 Ordnungsübungen)
Die Quadratwurzelfunktion (3 Ordnungsübungen)
Die Funktionen 1/x ... (5 Ordnungsübungen)
Wie lautet die nächste Zahl? (3 Multiple Choice - Aufgaben)

Projekte

Funktionen im Alltag entdecken

Funktionen kommen bei vielen alltäglichen Abläufen vor - entdeckt und beschreibt sie!

Die lineare Funktion (Flash-Präsentation in einem neuen Fenster)
Die Quadratfunktion (Flash-Präsentation in einem neuen Fenster)
Die indirekte Proportion (Flash-Präsentation in einem neuen Fenster)
Die Quadratwurzel-Funktion (Flash-Präsentation in einem neuen Fenster)

Spurpunkte

Du kennst Spurpunkte von linearen Funktionen, von der Dartellung einer linearen Gleichung in zwei Variablen. Hier kannst Du mit Spurpunkten experimentieren:

NEU: Spurpunkte einer Geraden (GeoGebra-Datei
NEU: Drei Spurpunkte legen eine Parabel fest! (GeoGebra-Datei

Eine Funktion immer wieder anwenden

Den Funktionswrt von einem Funktionswert von einem Funktionswert... berechnen - was soll denn das, bitte?

Richtig: Berechnest du einen Funktionswert von einem bestimmten "Startwert" x, und von diesem Funktionswert wieder den Funktionswert, usw., dann kannst du "beliebig" oft weiter rechnen. Kommen diese Rechnungen jemals zu einem Ende? Für Funktionen der Form f(x) = k.x + d (k < 1) kannst du das in der folgenden Simulation untersuchen.

Vergiss nicht: Den Funktionswert berechnet die "Zahlenmaschine" f: Sie rechnet zu einer Eingabe x (auf der x-Achse) das Ergebnis, den Funktionswert y, aus. Diesen Funktionswert y "fütterst" du der Maschine als neuen Eingabewert x. Mit der Geraden y = x ordnest du den Funktionswert y der neuen Eingabe x zu:

Funktion von einer Funktion von einer Funktion .... (GeoGebra-Datei)

Das vorgestellte Verfahren kann zur Beschreibung so genannter Rekursionen verwendet werden.

Die Geschichte des Funktionen-Begriffes

Schon in der Antike gibt es Tabellen, in denen Beobachtungsdaten und Berechnungsvorschriften aufgezeichnet sind. Im Mittelalter beschrieb der Bischof von Lisieux (Nicole Oresme, 1323 - 1382) veränderliche Größen mit Tabellen und Grafiken. Nach 1550 verwendete Francois Vieta Variable in Formeln, mit denen funktionale Abhängigkeiten erstmals beschrieben werden konnten...

Recherchiert Genaueres über diese frühen Theorien und stellt sie in den geschichtlichen Zusammenhang mit der jeweiligen Epoche!

Rechtecke - Flächeninhalte und Umfangsberechnungen...

Ihr könnt dem Umfang und den Flächeninhalt eines Rechtecks leicht aus seiner Länge und seiner Breite berechnen. Für die "Umkehraufgabe" könnt ihr aus dem Flächeninhalt und einer Seite die andere Seite, und dann den Umfang des Rechtecks berechnen...

Bei den folgenden Aufgaben ist entweder der Flächeninhalt A oder der Umfang u gegeben. Wählt in den Aufgaben die eine Seitenlänge des Rechtecks und ... (beobachtet, denkt nach, vermutet, diskutiert)

Formeln aus der Geometrie - Zahlenmaschinen?

In der Geometrie verwendet ihr "am Ende der ersten 4 Mathematik-Jahre" zahlreiche Formeln. Alle können als Funktionen interpretiert werden, zB: A(a) = a², u(r) = 2rπ, ...

Eine besondere Rolle spielen Formeln, die von mehreren Eingabegrößen abhängen, zB. der Flächeninhalt des Kreissektors (vgl. Kapitel 12 Kreisteile) A (r,α) = r²πα/360.

Parameterdarstellung - ein Thema für Neugierige!

Jede Funktion kann auch in Parameterdarstellung ausgegeben werden - untersuche dies und mehr dazu im folgenden GeoGebra-Applet!